Ο άνθρωπος που συνέλαβε τα μαθηματικά της τραχύτητας

ARB - THE NEW YORK REVIEW OF BOOKS Benoit B. Mandelbrot, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, (Ο φρακταλιστής. Απομνημονεύματα ενός αντικομφορμιστή επιστήμονα), Pantheon, σ. 324 Ο Μπενουά Μάντελμπροτ, ο ιδιοφυής πολωνο-γαλλο-αμερικανός μαθηματικός που πέθανε το 2010, είχε μια σχεδόν ποιητική τάση να έλκεται από τα σύνθετα και παράδοξα πράγματα. Η αξιοθαύμαστη ικανότητά του να παρατηρεί υπόγειους συνδέσμους ανάμεσα σε πολύ διαφορετικά μεταξύ τους φαινόμενα τον οδήγησε στη δημιουργία ενός νέου κλάδου της γεωμετρίας, ενός κλάδου που μας επέτρεψε να κατανοήσουμε βαθύτερα τις φυσικές μορφές και τα επαναλαμβανόμενα μοτίβα της ανθρώπινης συμπεριφοράς. Το κλειδί σε αυτό είναι μια απλή μεν, πλην όμως δύσκολη να συλληφθεί, ιδέα: εκείνη της αυτοομοιότητας. Για να αντιληφθείτε τι σημαίνει αυτοομοιότητα αναλογιστείτε ένα οικείο παράδειγμα: το κουνουπίδι. Πάρτε ένα κεφάλι του λαχανικού αυτού και παρατηρήστε τη μορφή του – το πώς αποτελείται από μικρά μπουκετάκια. Τραβήξτε ένα από αυτά τα μπουκετάκια. Με τι μοιάζει; Μοιάζει με μικρό κεφάλι κουνουπιδιού, με τα δικά του μπουκετάκια. Τραβήξτε τώρα ένα από αυτά τα μικρότερα μπουκετάκια. Με τι μοιάζει και πάλι; Με ένα ακόμα μικρότερο κουνουπίδι. Αν συνεχίσετε αυτή τη διαδικασία –και ίσως σύντομα χρειαστείτε μεγεθυντικό φακό– θα δείτε ότι τα μικρά και τα ακόμα μικρότερα κομμάτια, όλα μοιάζουν με το κεφάλι από το οποίο ξεκινήσατε. Το κουνουπίδι, επομένως, θεωρείται αυτοόμοιο και κάθε ένα από τα μέρη του αντανακλά την εικόνα του συνόλου. Άλλα αυτοόμοια φαινόμενα, το καθένα με τη δική του διαφορετική μορφή, περιλαμβάνουν τα σύννεφα, τις ακτογραμμές, τις αστραπές, τα συμπλέγματα γαλαξιών, το δίκτυο των αιμοφόρων αγγείων στο σώμα μας, και πολύ πιθανόν τη μορφή των διακυμάνσεων των τιμών στις χρηματαγορές. Κοιτάζοντας από όλο και κοντύτερα μια ακτογραμμή, τόσο περισσότερο βλέπουμε ότι είναι ακανόνιστη, κι όχι ομαλή, και κάθε ακανόνιστο τμήμα της περιέχει μικρότερα, ομοίως ακανόνιστα τμήματα, τα οποία μπορούν να περιγραφούν από τις μεθόδους του Μάντελμπροτ. Εξαιτίας της αναγκαίας τραχύτητας των αυτοόμοιων μορφών, τα κλασικά μαθηματικά δεν μπορούν να αντεπεξέλθουν στις απαιτήσεις της μελέτης τους. Οι μέθοδοί τους, από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων έως και τον τελευταίο αιώνα, έχουν αποδειχθεί πιο κατάλληλες για τη μελέτη ομαλών μορφών όπως οι κύκλοι. (Σημειώστε ότι ένας κύκλος δεν είναι αυτοόμοιος: αν τον κόψετε σε μικρότερα και μικρότερα τμήματα, τα τμήματα αυτά γίνονται σχεδόν ευθείες.) Δεν είναι παρά τις τελευταίες δεκαετίες που έκανε την εμφάνισή του ένα είδος μαθηματικών της τραχύτητας, το οποίο μπορεί να ασχοληθεί με τα συναφή ζητήματα όπως την τυρβώδη ροή, τον στατιστικό θόρυβο, τη συσταδοποίηση και το χάος. Και ο Μάντελμπροτ ήταν ο κύριος νους πίσω από αυτά. Είχε μια καριέρα με αρκετή κινητικότητα, αλλά πέρασε μεγάλο μέρος της ως ερευνητής για την ΙΒΜ, βόρεια της Νέας Υόρκης. Στα τέλη της δεκαετίας του ’70 έγινε διάσημος για την ευρεία διάδοση της ιδέας της αυτοομοιότητας και για την επινόηση του όρου “fractal” (από το λατινικό fractus που σημαίνει σπασμένο), για να περιγράψει τις αυτοόμοιες μορφές οι οποίες είναι σήμερα γνωστές και ως μορφοκλασματικά σύνολα. To 1980 ανακάλυψε το «σύνολο Μάντελμπροτ», του οποίου το σχήμα –που θυμίζει ελαφρώς σκαθάρι ή χιονάνθρωπο με κρεατοελιές– έφτασε να αντιπροσωπεύει την πολύ της μόδας τώρα τελευταία, επιστήμη του χάους. Αυτό που ίσως είναι λιγότερο γνωστό για τον Μάντελμπροτ είναι το ανατρεπτικό έργο του στα οικονομικά. Από τα χρηματοοικονομικά μοντέλα που δημιούργησε, βασισμένος στις ιδέες του περί μορφοκλασματικών συνόλων, προέκυπτε ότι οι αγορές μετοχών και συναλλάγματος ήταν υψηλότερου κινδύνου απ’ ό,τι υπέθεταν, με βάση τις επικρατούσες θεωρίες, στις εμπορικές σχολές και στις τράπεζες επενδύσεων, και ότι οι ανεξέλεγκτες αυξομειώσεις –όπως η πτώση του δείκτη Dow Jones κατά 777 μονάδες στις 29 Σεπτεμβρίου του 2008– ήταν αναπόφευκτες. Τις πλευρές αυτές της καριέρας του Μάντελμπροτ τις ήξερα πριν διαβάσω τα απομνημονεύματά του, ένα χειρόγραφο το οποίο είχε ολοκληρώσει λίγο καιρό πριν τον θάνατό του σε ηλικία ογδόντα πέντε ετών. Γνώριζα τη φήμη του ως «αντικομφορμιστή» και «ταραχοποιού» – χαρακτηρισμούς που, παρά τα χρόνια του στην ΙΒΜ, έδειχναν να του ταιριάζουν καλά. Αυτό για το οποίο δεν ήμουν προετοιμασμένος ήταν το καταπληκτικό εύρος ανθρώπων με τους οποίους διασταυρώθηκαν οι δρόμοι του κατά τη διάρκεια της καριέρας του. Δείτε μια μερική μόνο απαρίθμηση των προσώπων που εμφανίζονται στα απομνημονεύματά του: Μάργκαρετ Μηντ, Βαλερύ Ζισκάρ ντ’ Εσταίν, Κλωντ Λεβί Στρος, Νόαμ Τσόμσκι, Ρόμπερτ Οπενχάιμερ, Ζαν Πιαζέ, Φερνάν Μπροντέλ, Κλαούντιο Αμπάντο, Ρόμαν Τζέικομπσον, Τζορτζ Σουλτς, Γκιόργκι Λιγκέτι, Στήβεν Τζέι Γκουλντ, Φίλιπ Τζόνσον, και η αυτοκράτειρα της Ιαπωνίας. Ούτε είχα συνειδητοποιήσει ότι οι ανεπιτήδευτα αναρχικοί τρόποι του Μάντελμπροτ στην ΙΒΜ ήταν, τουλάχιστον εν μέρει, υπεύθυνοι για την εμφάνιση αυτής της κατάρας της σύγχρονης ζωής, του ηλεκτρονικού κωδικού πρόσβασης. Αυτό που με εντυπωσίασε περισσότερο, όμως, ήταν η μοναδικότητα της διαίσθησης του Μάντελμπροτ. Ξανά και ξανά, έβρισκε απλότητα και ίσως ομορφιά, εκεί όπου οι άλλοι έβλεπαν μια αδιόρθωτη ακαταστασία. Το μυστικό του; Μια ακαταμάχητη διάθεση να παίζει με τις εικόνες, μια σιγουριά ότι μπορεί να στηρίζεται στις οπτικές παραστάσεις: «Όταν ψάχνω, κοιτάζω, κοιτάζω, κοιτάζω...». Ο Μάντελμπροτ γεννήθηκε το 1924 σε μια εβραϊκή οικογένεια που ζούσε στο γκέτο της Βαρσοβίας. Κανένας από τους γονείς του δεν διέθετε μαθηματικό μυαλό. Ο πατέρας του πουλούσε γυναικείες κάλτσες, και η μητέρα του ήταν οδοντίατρος – πολύ επιδέξια στην εξαγωγή δοντιών, χάρη στο «γερό δεξί της χέρι και τους δυνατούς δικεφάλους της». Ο θείος του ο Σόλεμ, όμως, ήταν μαθηματικός διεθνούς κύρους ο οποίος είχε σπουδάσει στο Παρίσι και είχε γίνει καθηγητής στο Κολλέγιο της Γαλλίας. «Κανείς δεν επηρέασε τόσο πολύ την επιστημονική μου ζωή όσο ο Σόλεμ», μας λέει ο Mάντελμπροτ – αν και η φύση της επιρροής του θείου του θα αποδεικνυόταν μάλλον περίεργη. Περιγράφοντας την παιδική του ηλικία στη Βαρσοβία, ο Μάντελμπροτ θυμάται, για παράδειγμα, με μεγάλη ζωντάνια, την οσμή σαν κοπριά που συνόδευε έναν από τους ασθενείς της μητέρας του, ο οποίος κάλυπτε το κόστος της επιδιόρθωσης ενός στόματος γεμάτου χαλασμένα δόντια φέρνοντας στην οικογένεια φρέσκο κρέας από τα σφαγεία όπου δούλευε. Με την Ύφεση η δουλειά του πατέρα του κατέρρευσε και ακολούθως η οικογένεια έφυγε από την Πολωνία με προορισμό το Παρίσι, διασχίζοντας τη ναζιστική Γερμανία μέσα σε ένα τρένο σφραγισμένο με λουκέτα. «Απ’ όλους τους ανθρώπους που ξέραμε, μόνον εμείς φύγαμε για τη Γαλλία και επιζήσαμε», γράφει ο Μάντελμπροτ, προσθέτοντας ότι πολλούς από τους γείτονές τους στο γκέτο της Βαρσοβίας «τους εμπόδισαν να φύγουν οι πολύτιμες πορσελάνες τους ή η αδυναμία τους να πουλήσουν το μεγάλο πιάνο συναυλιών Bösendorfer που διέθεταν...». Το Παρίσι μάγεψε τον νεαρό Μάντελμπροτ. Η οικογένειά του έστησε το νοικοκυριό της σε ένα διαμέρισμα χωρίς ζεστό νερό στην τότε εξαθλιωμένη γειτονιά της Μπελβίλ, κοντά στο Μπυτ Σομόν, αλλά το αγόρι εξερευνούσε αχόρταγα ολόκληρη την πόλη – το Λούβρο, το παλιό μουσείο επιστημών στην οδό Σαιν Μαρτέν, το Καρτιέ Λατέν. Στο σχολείο ο Μάντελμπροτ ξεχώριζε ως crack –μια λέξη αργκό που σημαίνει ατσίδας, άσος– ή ακόμα και ως taupin: «γλωσσολογικά», μας λέει, «πρόκειται για μια ακραία μορφή αυτού που αποκαλούμε “σπασίκλα”» (η δε λέξη προέρχεται από τη γαλλική λέξη taupe που σημαίνει τυφλοπόντικας). Αυτό που του έδινε το προβάδισμα ήταν η ικανότητά του να «γεωμετρικοποιεί» ένα πρόβλημα. Αντί να ανακατεύει μαθηματικούς τύπους όπως οι συμμαθητές του, αυτός χρησιμοποιούσε την εξαιρετική οπτική μνήμη του για να δει πώς μια πολύ σύνθετη εξίσωση μπορούσε να κρύβει μέσα της ένα απλό σχήμα. Σε έναν εθνικής εμβέλειας διαγωνισμό, μας λέει, ήταν ο μόνος μαθητής στη Γαλλία που κατάφερε να λύσει ένα διαβολικά δύσκολο πρόβλημα. «Πώς τα κατάφερες;» ρώτησε ο δύσπιστος καθηγητής του, κάποιος κύριος Πονς. «Κανένα ανθρώπινο ον δεν θα μπορούσε να υπολογίσει αυτό το τριπλό ολοκλήρωμα στον χρόνο που σας είχε δοθεί!». Ο Μάντελμπροτ πληροφόρησε τον καθηγητή του ότι απλώς άλλαξε τις συντεταγμένες στις οποίες ήταν διατυπωμένο το πρόβλημα, έτσι ώστε αποκαλύφθηκε η γεωμετρική του ουσία – μία σφαίρα. Εδώ ακριβώς ο κύριος Πονς απομακρύνθηκε μουρμουρίζοντας, «Μα φυσικά, φυσικά, φυσικά!». Ο Μάντελμπροτ ήταν δεκατεσσάρων ετών όταν ξέσπασε ο Β΄ Παγκόσμιος Πόλεμος. Με την πτώση του Παρισιού, αυτός και η οικογένειά του κατέφυγαν στο Βισύ της Γαλλίας, όπου, ως Εβραίοι προερχόμενοι από το εξωτερικό, ζούσαν σε έναν μόνιμο φόβο ότι θα τους καταγγείλει κάποιος στις αρχές, κι έτσι σύντομα χρειάστηκε να χωριστούν. Χρησιμοποιώντας ψεύτικο όνομα και έχοντας προμηθευτεί πλαστά έγγραφα, ο Μάντελμπροτ παρίστανε τον βοηθό σιδερά σε ένα άγονο και ταλαίπωρο χωριό στη Λιμουζέν (όπου ένα ίχνος της τοπικής προφοράς προστέθηκε στο μίγμα λαϊκών παριζιάνικων και σωστών Γαλλικών). Μετά από μια παρ’ ολίγον σύλληψή του, διέφυγε στη Λυών, όπου κάτω από τη μύτη του Κλάους Μπάρμπι τελειοποίησε το γεωμετρικό του χάρισμα με τη βοήθεια ενός εμπνευσμένου καθηγητή στο τοπικό λύκειο. Τον καιρό εκείνο ήταν που συνέλαβε την «κεπλεριανή αναζήτησή» του, όπως την αποκαλεί ο ίδιος. Τρεις αιώνες νωρίτερα, ο Γιοχάνες Κέπλερ είχε μπορέσει να βγάλει νόημα για τις φαινομενικά ακανόνιστες κινήσεις των πλανητών από μία και μοναδική γεωμετρική διαίσθηση: διατύπωσε την πρόταση ότι οι τροχιές τους, αντί να είναι κυκλικές όπως όλοι υπέθεταν από τα αρχαία χρόνια ως τότε, είχαν μορφή έλλειψης. Ως έφηβος, ο Μάντελμπροτ «έφτασε να νιώθει δέος» για το επίτευγμα του Κέπλερ και έβαλε έναν μεγαλεπήβολο στόχο να κάνει κάτι παρόμοιο – να επιφέρει την τάξη σε μια νεοφανή περιοχή της επιστήμης, μέσα από ένα τολμηρό γεωμετρικό εγχείρημα. Ήταν στο μεταπολεμικό Παρίσι που ο Μάντελμπροτ άρχισε πραγματικά την αναζήτησή του. Ο θείος Σόλεμ τον πίεσε να παρακολουθήσει την École Normale Supérieure, το πιο ευγενές ανώτερο εκπαιδευτικό ίδρυμα της Γαλλίας, όπου ο Μάντελμπροτ είχε κατορθώσει να εισαχθεί σε ηλικία είκοσι ετών (ένας από τους μόνο είκοσι Γάλλους που είχαν επιτύχει κάτι τέτοιο). Όμως ο στεγνός και ανιαρός θεωρητικός τρόπος προσέγγισης των μαθηματικών εκεί δεν του ταίριαζε καθόλου. Την εποχή εκείνη η Εκόλ Νορμάλ –κατ’ όνομα κανονική, κατ’ επιδίωξη ανώτερη, όπως λέει ένα γαλλικό ευφυολόγημα που αναφέρεται στην ονομασία της– κυριαρχείτο στα μαθηματικά από μια όχι κρυφή, αλλά ούτε κι εντελώς φανερή, κλίκα με την ονομασία Μπουρμπακί. (Η ονομασία «Μπουρμπακί» είχε προέλθει ως αστείο από το όνομα ενός δύσμοιρου γάλλου στρατηγού του δέκατου ένατου αιώνα, ο οποίος κάποτε προσπάθησε να αυτοπυροβοληθεί στο κεφάλι αλλά αστόχησε.) Αρχηγός της ήταν ο Αντρέ Βέιλ, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του εικοστού αιώνα (και αδερφός της Σιμόν Βέιλ). Στόχος των Μπουρμπακί ήταν να εξαγνίσουν τα μαθηματικά, να τα ξαναχτίσουν σε απόλυτα λογικές βάσεις ανέγγιχτες από τη φυσική ή τη γεωμετρική διαίσθηση. Ο Μάντελμπροτ έβρισκε τους Μπουρμπακί, και συγκεκριμένα τον Βέιλ, «απόλυτα απωθητικούς». Οι Μπουρμπακί έδειχναν να αποσυνδέουν τα μαθηματικά από τις φυσικές επιστήμες, να τα μετατρέπουν σε ένα είδος λογικής θεολογίας. Αντιμετώπιζαν τη γεωμετρία, τόσο αναπόσπαστο στοιχείο στο κεπλεριανό όνειρο του Μάντελμπροτ, ως έναν νεκρό κλάδο των μαθηματικών, κατάλληλο στην καλύτερη περίπτωση για παιδιά. Έτσι, τη δεύτερη μέρα του στην Εκόλ Νορμάλ, ο Μάντελμπροτ τα παράτησε. Ο θείος του ένιωσε αγανάκτηση για την επιλογή του αυτή, όμως το μόνο που κατάφερε ήταν να δυναμώσει την αποφασιστικότητά του. Ενώ ο Σόλεμ ήταν ένας «συνετός κομφορμιστής που προσχώρησε αμέσως στην σύντομα πανίσχυρη Μπουρμπακί», ο Μάντελμπροτ έβλεπε τον εαυτό του –με μια κάποια δόση μεγαλομανίας, όπως παραδέχεται– ως έναν «αιρετικό» ο οποίος θα ανέτρεπε την ορθοδοξία της. Ψηλαφίζοντας τον δρόμο του προς αυτόν τον στόχο, ο Μάντελμπροτ γράφτηκε πρώτα σε άλλη μία από τις μεγάλες σχολές της Γαλλίας, την Πολυτεχνική Σχολή, κι έπειτα ταξίδεψε στις Ηνωμένες Πολιτείες για σπουδές αεροναυπηγικής στο Κάλτεκ, τις οποίες όμως δεν προχώρησε περαιτέρω. Με την επιστροφή του στη Γαλλία, κλήθηκε να καταταγεί στις γαλλικές στρατιωτικές δυνάμεις. Μετά από μια μικρή και κάπως κωμική θητεία στη γαλλική αεροπορία (όπου, απ’ ό,τι φαίνεται, πέρασε το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου της παρακολουθώντας παρισινά κονσέρτα, ενδίδοντας έτσι στο νέο του πάθος για κλασική μουσική) κατέληξε να γίνει ένας «όχι τόσο νέος» μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού, «το οποίο τότε βρισκόταν σε μια καμπή της μακράς και ένδοξης ιστορίας του». Ψάχνοντας για το θέμα της διατριβής του, είχε την πρώτη κεπλεριανή αναλαμπή του. Μια μέρα ο θείος Σόλεμ –ο οποίος είχε ήδη ξεγράψει τον Μάντελμπροτ, θεωρώντας τον απώλεια για τα μαθηματικά– τράβηξε όλο περιφρόνηση από ένα καλάθι αχρήστων και του πρόσφερε ένα ανάτυπο άρθρου το οποίο αναφερόταν σε κάτι που λεγόταν «ο νόμος του Ζιπφ». Πνευματικό τέκνο ενός εκκεντρικού γλωσσολόγου στο Χάρβαρντ, του Τζορτζ Κίνγκσλεϊ Ζιπφ, ο νόμος αυτός αφορά τη συχνότητα με την οποία διαφορετικές λέξεις απαντώνται στα γραπτά κείμενα – άρθρα εφημερίδων, βιβλία, κτλ. Η πιο συχνά απαντώμενη λέξη στην γραπτή αγγλική γλώσσα είναι το οριστικό άρθρο «the», ακολουθούμενο από την πρόθεση «of» και τον σύνδεσμο «and». Ο Ζιπφ κατέταξε όλες τις λέξεις με αυτόν τον τρόπο και μετά αποτύπωσε σε διάγραμμα τη συχνότητα χρήσης τους. Η καμπύλη που προέκυπτε είχε παράξενο σχήμα. Αντί να φθίνει ομαλά από την πιο συχνή λέξη στη λιγότερο συχνή, όπως θα περίμενε κανείς, αυτή παρουσίαζε μια απότομη αρχική πτώση και μετά γινόταν σχεδόν επίπεδη, με μια μακριά ουρά με μικρή γωνία κλίσης, η οποία θύμιζε την πορεία ενός σκιέρ που κάνει άλμα. Το σχήμα αυτό είναι ενδεικτικό μιας μεγάλης ανισότητας: λίγες εκατοντάδες λέξεις στην κορυφή της κατάταξης κάνουν όλη σχεδόν τη δουλειά, ενώ η μεγάλη πλειονότητα μαραζώνει σε αχρησία. (Αν μη τι άλλο, ο Ζιπφ υποτίμησε αυτή τη γλωσσική ανισότητα: ως μία από τις κύριες πηγές δεδομένων του χρησιμοποίησε τον Οδυσσέα του Τζέιμς Τζόυς, ο οποίος διαθέτει μια ιδιαζόντως προσωπική γλώσσα). Ο «νόμος» στον οποίο κατέληξε ο Ζιπφ ήταν μια απλή, πλην όμως ακριβής αριθμητική σχέση ανάμεσα στην κατάταξη μιας λέξης και στη συχνότητα της χρήσης της. Ο νόμος του Ζιπφ, ο οποίος έχει δειχθεί ότι ισχύει για όλες τις γλώσσες, ίσως φαίνεται δίχως ιδιαίτερη σημασία. Όμως η ίδια βασική αρχή αποδεικνύεται ότι ισχύει για μια μεγάλη ποικιλία φαινομένων, συμπεριλαμβανομένου του μεγέθους των νησιών, του πληθυσμού των πόλεων, της χρονικής διάρκειας παραμονής ενός βιβλίου στη λίστα των μπεστ σέλερ, του αριθμού των συνδέσμων προς έναν συγκεκριμένο ιστότοπο, και –όπως είχε ανακαλύψει ο ιταλός οικονομολόγος Βιλφρέντο Παρέτο τη δεκαετία του 1890– της κατανομής εισοδήματος και πλούτου μιας χώρας. Όλα τα παραπάνω είναι παραδείγματα κατανομών που περιγράφονται από «εκθετικούς νόμους» (ή «νόμους δύναμης»[1]). Οι εκθετικοί νόμοι ισχύουν, στη φύση ή στην κοινωνία, εκεί όπου υπάρχει ακραία ανισότητα ή ανομοιογένεια: μια μέγιστη τιμή (που αντιστοιχεί σε έναν μικρό αριθμό τεράστιων πόλεων ή συχνά χρησιμοποιούμενων λέξεων ή πολύ πλούσιων ανθρώπων) ακολουθείται από μια χαμηλή «μακριά ουρά» (η οποία αντιστοιχεί σε ένα μεγάλο πλήθος μικρών πόλεων ή σπάνιων λέξεων ή πολύ χαμηλά αμειβόμενων μισθωτών). Σε τέτοιες περιπτώσεις η έννοια της «μέσης τιμής» είναι δίχως νόημα. Ο Μάντελμπροτ αντιλήφθηκε πλήρως τον νόμο του Ζιπφ καθώς επέστρεφε με το μετρό από τον θείο του. «Σε μια από τις πιο ξεκάθαρες στιγμές αποκάλυψης στη ζωή μου», μας λέει, «είδα ότι μπορεί να υπάρχει μια βαθιά σύνδεση με τη θεωρία πληροφορίας και επομένως με τη στατιστική θερμοδυναμική – και απέκτησα εξάρτηση από τους εκθετικούς νόμους για όλη μου τη ζωή». Στη συνέχεια προχώρησε στη συγγραφή της διδακτορικής του διατριβής επάνω στον νόμο του Ζιπφ. Ούτε ο θείος Σόλεμ ούτε η εξεταστική επιτροπή της διατριβής του (προεδρευόμενη από τον πρίγκιπα Λουί ντε Μπρέιγ, έναν από τους θεμελιωτές της θεωρίας των κβάντων) έδωσαν μεγάλη σημασία στις προσπάθειές του να εξηγήσει τη σπουδαιότητα των εκθετικών νόμων, και για ένα μεγάλο διάστημα μετά ο Μάντελμπροτ ήταν ο μόνος μαθηματικός που έπαιρνε στα σοβαρά τέτοιους νόμους και τις μακριές ουρές τους – αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο, όταν η σπουδαιότητά τους εκτιμήθηκε εντέλει μισό αιώνα μετά, έγινε γνωστός ως ο «πατέρας της μακριάς ουράς». Έχοντας προωθήσει τον εαυτό του με την εκτός πεπατημένης διατριβή του ως «ανεξάρτητο επιστήμονα», ο Μάντελμπροτ αναζήτησε κι άλλους μαθηματικούς με εξίσου νεωτεριστική διάθεση. Ένας από αυτούς ήταν ο Νόρμπερτ Βίνερ, θεμελιωτής (και επινοητής του όρου) της «κυβερνητικής», της επιστήμης που έχει ως αντικείμενο το πώς διάφορα συστήματα, από τηλεφωνικά κέντρα έως τον ανθρώπινο εγκέφαλο, ελέγχονται από διαδικασίες ανάδρασης. Ένας άλλος ήταν ο Φον Νόιμαν, δημιουργός της θεωρίας των παιγνίων (και πολλών άλλων θεωριών). Για τον Μάντελμπροτ, οι άνδρες αυτοί ήταν «φτιαγμένοι από αστρόσκονη». Ως μεταδιδακτορικός ερευνητής συνεργάστηκε και με τους δύο: πρώτα με τον Βίνερ στο ΜΙΤ και μετά με τον Φον Νόιμαν, στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών του Πρίνστον, όπου είχε μια εφιαλτική εμπειρία. Κατά τη διάρκεια μιας διάλεξής του με θέμα τους βαθείς δεσμούς μεταξύ φυσικής και γλωσσολογίας, είδε τον έναν μετά τον άλλο, τους διάσημους επιστήμονες στο κοινό, να αποκοιμιούνται και να ροχαλίζουν. Όταν τελείωσε, ο περίφημος ιστορικός των μαθηματικών Ότο Νοϊγκεμπάουερ ξύπνησε τους κοιμώμενους φωνάζοντας: «Πρέπει να διαμαρτυρηθώ! Είναι η χειρότερη διάλεξη που άκουσα ποτέ!». Ο Μάντελμπροτ είχε ήδη παραλύσει από φόβο, όμως για καλή του τύχη ένα τρομερό δίδυμο προσέτρεξε προς βοήθειά του: πρώτα ο Ρόμπερτ Οπενχάιμερ, ο οποίος μετέδωσε με άψογο τρόπο το πνεύμα της διάλεξης κάνοντας μία από τις μυθικές «ομιλίες του Όπι», και έπειτα ο φον Νόιμαν, ο οποίος έκανε το ίδιο με μία από τις εξίσου διάσημες «ομιλίες του Τζόνυ». Το κοινό παρακολουθούσε μαγεμένο και η εκδήλωση τελείωσε θριαμβευτικά. Επιστρέφοντας στην Ευρώπη, ο Μάντελμπροτ, πρόσφατα παντρεμένος, πέρασε ένα-δύο ατάραχα χρόνια με τη σύζυγό του στη Γενεύη. Εκεί ο ψυχολόγος Ζαν Πιαζέ, εντυπωσιασμένος από τη δουλειά του στη γλωσσολογία, προσπάθησε να τον πάρει κοντά του ως συνεργάτη του, μαθηματικό. Ο Μάντελμπροτ απέρριψε την προσφορά, παρά τον (συγκρατημένο) σεβασμό του για τον σπουδαίο αυτόν άνθρωπο: «Ο Πιαζέ θα μπορούσε να υπάρξει ασαφής ή λανθασμένος, δεν ήταν όμως απατεώνας...». Ο Φερνάν Μπροντέλ τον προσκάλεσε να έρθει να στήσουν μαζί ένα ερευνητικό κέντρο στο Παρίσι, κοντά στους Κήπους του Λουξεμβούργου για να προωθήσουν το είδος εκείνος της ποσοτικής ιστορίας που προωθούσε η σχολή των Annales. Όμως ο Μάντελμπροτ συνέχιζε να αισθάνεται καταπιεσμένος από το προσκολλημένο στην παράδοση μαθηματικό καθεστώς της Γαλλίας. «Δεν έβλεπα καμία συμβατότητα ανάμεσα σε μια πανεπιστημιακή θέση στη Γαλλία και την άγρια φιλοδοξία από την οποία φλεγόμουν», γράφει. Έτσι παρακινημένος από την επιστροφή του Σαρλ ντε Γκολ στην εξουσία το 1958 (για τον οποίο ο Μάντελμπροτ φαίνεται ότι έτρεφε ιδιαίτερη αντιπάθεια), δέχθηκε την προσφορά μιας θερινής εργασίας στην ΙΒΜ στο Γιόρκταουν Χάιτς, βόρεια της Νέας Υόρκης. Εκεί βρήκε το επιστημονικό του σπίτι. Ως μεγάλη και κάπως γραφειοκρατική εταιρεία, η ΙΒΜ δύσκολα θα μπορούσε να είναι κατάλληλο περιβάλλον για έναν ιδιοσυγκρασιακό αντικομφορμιστή. Τα τέλη της δεκαετίας του ’50, εντούτοις, ήταν η αρχή μιας χρυσής εποχής καθαρής έρευνας στην ΙΒΜ. «Είμαστε άνετα σε θέση να έχουμε ανάμεσά μας ορισμένους σπουδαίους επιστήμονες, οι οποίοι κάνουν αυτά που θέλουν», είπε ο διευθυντής του ερευνητικού τομέα στον Μάντελμπροτ κατά την άφιξή του. Το καλύτερο απ’ όλα είναι ότι μπορούσε να χρησιμοποιεί τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές της ΙΒΜ για να σχεδιάζει γεωμετρικές εικόνες. Ο προγραμματισμός την εποχή εκείνη ήταν μια πολύ επίπονη εργασία η οποία περιλάμβανε τη μεταφορά διάτρητων καρτών από το ένα κτίριο στο άλλο, μέσα σε στέισον βάγκον. Όταν ο δάσκαλος στο γυμνάσιο όπου φοιτούσε ο γιος του αναζήτησε βοήθεια για μια τάξη πληροφορικής, ο Μάντελμπροτ προσφέρθηκε να βοηθήσει – μόνο και μόνο για να βρει ότι σύντομα όλοι οι μαθητές στην Κομητεία Γουέστσεστερ συνδέονταν με τα κομπιούτερ της ΙΒΜ χρησιμοποιώντας το όνομά του. «Σε αυτό το σημείο, το προσωπικό του κέντρου πληροφορικής χρειάστηκε να δημιουργήσει κωδικούς πρόσβασης», λέει. «Έτσι μπορώ να καυχηθώ –αν αυτός είναι ο σωστός όρος– ότι υπήρξα παρών στο ξεκίνημα της αστυνόμευσης που αντιπροσώπευε αυτή η αλλαγή.» Ήταν η τύχη, και πάλι, αυτή που οδήγησε τον Μάντελμπροτ στην επόμενη ανακάλυψή του. Σε μια επίσκεψή του στο Χάρβαρντ, με αφορμή μια ομιλία του για τους νόμους δύναμης και την κατανομή πλούτου, του έκανε ιδιαίτερη εντύπωση ένα διάγραμμα που έτυχε να δει πάνω σε έναν μαυροπίνακα, στο γραφείο ενός καθηγητή οικονομικών. Το διάγραμμα ήταν σχεδόν ολόιδιο σε σχήμα με εκείνο που ο Μάντελμπροτ επρόκειτο να παρουσιάσει στη διάλεξή του – εντούτοις δεν αφορούσε την κατανομή πλούτου αλλά τις διακυμάνσεις των τιμών στο Χρηματιστήριο Βάμβακος της Νέας Υόρκης. Γιατί θα έπρεπε η μορφή των διακυμάνσεων στην αγορά βαμβακιού να μοιάζει τόσο εκπληκτικά με τον απίστευτα ανομοιογενή τρόπο με τον οποίο κατανέμεται ο πλούτος στην κοινωνία; Αυτό σίγουρα δεν θα ήταν συμβατό με το ορθόδοξο μοντέλο των χρηματαγορών, το οποίο είχε αρχικά προταθεί το 1900 από έναν γάλλο μαθηματικό με το όνομα Λουί Μπασελιέ (ο οποίος το είχε πάρει από τη φυσική ενός αερίου σε ισορροπία). Σύμφωνα με το μοντέλο του Μπασελιέ, η διακύμανση των τιμών σε μια αγορά μετοχών ή αγαθών θα πρέπει να γίνεται ομαλά και ήπια· οι μεταβολές των τιμών, ταξινομημένες ανά μέγεθος, θα συντάσσονταν πολύ καλά κάτω από μια καμπύλη κανονικής κατανομής. Εδώ στηρίχθηκε αυτό που έγινε γνωστό ως θεωρία της αποτελεσματικής αγοράς. Όμως ο Μάντελμπροτ επιστρέφοντας στην ΙΒΜ και ανατρέχοντας, με τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών της, σε στοιχεία καταγεγραμμένα κατά τη διάρκεια ενός αιώνα στο Χρηματιστήριο Βάμβακος της Νέας Υόρκης, βρήκε ένα πολύ πιο ασταθές μοντέλο στο οποίο κυριαρχούσε ένας μικρός αριθμός ακραίων μεταβολών. Εκεί φαινόταν ότι δρούσε ένας εκθετικός νόμος. Επιπλέον οι χρηματαγορές συμπεριφέρονταν πάνω-κάτω με όμοιο τρόπο, όσο μεγάλο κι αν ήταν το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κανείς τις παρατηρούσε. Όταν ο Μάντελμπροτ πήρε ένα διάγραμμα τιμών και εστίασε αρχικά σε έναν χρόνο, έπειτα σε έναν μήνα, και στη συνέχεια σε μία μέρα, το ακανόνιστο σχήμα της γραμμής έμενε ίδιο. Με άλλα λόγια, το ιστορικό των τιμών παρουσίαζε αυτοομοιότητα – σαν το κουνουπίδι. «Η καρδιά των χρηματοοικονομικών», συμπέρανε ο Μάντελμπροτ, «είναι φράκταλ». Το μορφοκλασματικό μοντέλο των χρηματαγορών, που ο Μάντελμπροτ ανέπτυξε στη συνέχεια, δεν έγινε ποτέ πολύ αρεστό στους καθηγητές χρηματοοικονομικών οι οποίοι είναι ακόμα, ως επί το πλείστον, προσκολλημένοι στη θεωρία της αποτελεσματικής αγοράς. Αν η ανάλυση του Μάντελμπροτ είναι σωστή, το να στηρίζεται κανείς στα ορθόδοξα μοντέλα είναι επικίνδυνο. Κι αυτό έχει αποδειχθεί σε πάνω από μία περίσταση. Το καλοκαίρι του 1998, για παράδειγμα, το Long-Term Capital Management –ένα επενδυτικό κεφάλαιο το οποίο δημιούργησαν δύο οικονομολόγοι βραβευμένοι με Νόμπελ για το έργο τους στη θεωρία χαρτοφυλακίου και στο οποίο εργάζονταν είκοσι πέντε ερευνητές με διδακτορικό– τινάχθηκε στον αέρα και κόντεψε να διαλύσει το παγκόσμιο τραπεζικό σύστημα, όταν μια απρόβλεπτη ρωσική χρηματοπιστωτική κρίση ανέτρεψε τα μοντέλα του. Ο Μάντελμπροτ ένιωθε δυσαρεστημένος για το ότι τον είχαν «παραμερίσει από την επικρατούσα τάξη των οικονομικών». Αφηγείται δε, με κάποια πικρία, το πώς ενώ αρχικά του προσφέρθηκε μια θέση εργασίας στην εμπορική σχολή του Πανεπιστημίου του Σικάγου, ενός προμαχώνα της οικονομικής ορθοδοξίας της αποτελεσματικής αγοράς, η πρόταση αυτή αναιρέθηκε στη συνέχεια από τον πρύτανη (και μελλοντικό υπουργό Εξωτερικών της κυβέρνησης Ρήγκαν) Τζορτζ Σουλτς. Το Χάρβαρντ αρνήθηκε και αυτό να προσφέρει μια μόνιμη θέση στον επισκέπτη καθηγητή Μάντελμπροτ, παρ’ όλο που αρχικά είχε δείξει ενδιαφέρον. Ο ίδιος αντιμετώπισε αυτές τις απαξιωτικές συμπεριφορές στωικά. Με την επιστροφή του στην ΙΒΜ ένιωσε το «ζεστό συναίσθημα του να επιστρέφεις στις χαρές της παλιάς καλής συναδελφικότητας, μέσα σε μια ομάδα πολύ πιο ανοιχτή και “ακαδημαϊκή” απ’ ό,τι το Χάρβαρντ». Μάλιστα ο Μάντελμπροτ επρόκειτο να κρατήσει ως βάση του την ΙΒΜ μέχρι το 1987, χρονιά κατά την οποία η επιχείρηση έκρινε σωστό να τερματίσει την υποστήριξή της προς την καθαρή έρευνα. Τότε ακριβώς, κλήθηκε να διδάξει στο Γέιλ, όπου το 1999, σε ηλικία εβδομήντα πέντε ετών, απέκτησε τελικά ακαδημαϊκή θέση – προλαβαίνοντας ίσα-ίσα. Ήταν στο Χάρβαρντ, το 1980, που ο Μάντελμπροτ έκανε την πιο μνημειώδη ανακάλυψη της καριέρας του. Μέσω του φίλου του, Στήβεν Τζέι Γκουλντ –συνυποστηρικτή της ιδέας της ασυνέχειας– ο Μάντελμπροτ κλήθηκε να διδάξει ένα μάθημα στο οποίο έδειχνε πώς οι θεωρίες των μορφοκλασματικών συνόλων μπορούσαν να ρίξουν φως στα κλασικά μαθηματικά. Αυτό τον οδήγησε στο να υιοθετήσει τη «σύνθετη δυναμική», μια θεωρητική προσέγγιση στη μελέτη του χάους. Η σύνθετη δυναμική είχε υπάρξει πολύ δημοφιλής στους παρισινούς μαθηματικούς κύκλους των αρχών του εικοστού αιώνα, αλλά σύντομα οδήγησε σε γεωμετρικές μορφές που ήταν ιδιαίτερα πολύπλοκες ώστε να μπορούν να οπτικοποιηθούν, και με το πέρασμα του χρόνου το θέμα πάγωσε. Ο Μάντελμπροτ βρήκε έναν τρόπο να το ξεπαγώσει – μέσω της δύναμης του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Την εποχή εκείνη, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές απαξιώνονταν σε μεγάλο βαθμό από τους μαθηματικούς, οι οποίοι «έτρεμαν στη σκέψη και μόνο ότι μια “μηχανή” μπορούσε να μολύνει την άσπιλη “αγνότητα” του πεδίου τους». Όμως ο Μάντελμπροτ, ο οποίος δεν υπήρξε ποτέ υπέρμαχος μιας τέτοιας καθαρότητας βρέθηκε να έχει στη διάθεσή του ένα ολοκαίνουργιο Vax supermini στο υπόγειο του κέντρου επιστημών του Χάρβαρντ. Χρησιμοποιώντας τις σχεδιαστικές του δυνατότητες ως ένα είδος μικροσκοπίου ξεκίνησε να διερευνήσει ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα το οποίο περιγραφόταν από έναν πολύ απλό μαθηματικό τύπο (τον μόνο τύπο, παρεμπιπτόντως, που περιέλαβε στα απομνημονεύματά του). Αυτό που βρήκε, καθώς ο υπολογιστής παρήγαγε ολοένα και πιο λεπτομερείς εικόνες του σχήματος εκείνου, ήταν απόλυτα αναπάντεχο: ένας θαυμαστός κόσμος από κηλίδες σε σχήμα σκαθαριού, περικυκλωμένες από μπουμπούκια που ανθίζουν, κληματσίδες, ελικοειδείς γραμμές, ιππόκαμπους και πλάσματα που έμοιαζαν με δράκους, κι όλα αυτά να τα συγκρατεί ένα κουβάρι από μεταξένια νήματα. Στην αρχή υποπτεύθηκε ότι η γεωμετρική εξέγερση μπροστά στα μάτια του οφειλόταν σε ελαττωματικά μηχανήματα. Όμως, όσο περισσότερο εστίαζε ο υπολογιστής τόσο πιο λεπτομερές (και αλλόκοτο) γινόταν το μοτίβο· φαινόταν μάλιστα να περιέχει έναν άπειρο αριθμό αντιγράφων του εαυτού του, σε όλο και μικρότερη κλίμακα, με καθένα από αυτά πλαισιωμένο από τα ίδια ροκοκό διακοσμητικά στοιχεία. Αυτό ακριβώς το σχήμα βαφτίστηκε αργότερα «σύνολο Μάντελμπροτ». Ο Μάντελμπροτ δικαίως φρονεί ότι το σύνολο που ονομάστηκε προς τιμήν του διαθέτει «άπειρη ομορφιά». Η ιδιαίτερα πολύπλοκη γεωμετρική δομή του, η οποία απέχει ακόμα αρκετά από το να γίνει πλήρως κατανοητή, εμπεριέχει κωδικοποιημένη έναν ανεξάντλητο πλούτο χαοτικών διαδικασιών. Πώς θα μπορούσε ένα αντικείμενο απροσμέτρητης συνθετότητας –το πιο σύνθετο σε όλα τα μαθηματικά, όπως ισχυρίζονται πολλοί– να προκύπτει από έναν απλό μαθηματικό τύπο; Για τον φυσικομαθηματικό Σερ Ρότζερ Πένροουζ αυτός ο αναπάντεχος πλούτος είναι ένα πολύ ενδεικτικό παράδειγμα της αιώνιας πλατωνικής πραγματικότητας των μαθηματικών. «Το σύνολο Μάντελμπροτ δεν είναι επινόηση του ανθρώπινου μυαλού: ήταν ανακάλυψη», έχει γράψει ο Πένροουζ. «Όπως το Έβερεστ, το σύνολο Μάντελμπροτ απλώς υπάρχει!». Το βιβλίο Ο φρακταλιστής δεν είναι ένα βιβλίο απομνημονευμάτων που διαβάζεται εύκολα· αντίθετα έχει μια δική του μορφοκλασματική τραχύτητα. Χωρίς αμφιβολία θα είχε εξομαλυνθεί αν ο συγγραφέας του είχε ζήσει περισσότερο: το πάθος του για αναθεωρήσεις και συνεχείς διορθώσεις στα χειρόγραφα ήταν, απ’ ό,τι μας λέει ο ίδιος, εφάμιλλο με εκείνο του Μπαλζάκ. Σποραδικά υπάρχουν κακόφωνες νότες υπεροψίας («χωρίς καμία διάθεση αλαζονείας, υποστηρίζω ότι...») και θιγμένου εγωισμού («δεν επιδιώκω τη δύναμη ούτε τριγυρνώ από δω κι από κει ζητώντας χάρες [...] Η Ακαδημία με έκρινε ακατάλληλο»). Πολύ μικρή προσπάθεια γίνεται για να εξηγηθούν στον μη ειδικευμένο αναγνώστη οι μαθηματικές καινοτομίες του συγγραφέα, όπως το ότι χρησιμοποιεί την έννοια της διάστασης για να μετρήσει τη μορφοκλασματική τραχύτητα. (Η ακτογραμμή της Βρετανίας, για παράδειγμα, είναι τόσο ακανόνιστη ώστε η μορφοκλασματική διάστασή της είναι 1,25· έτσι βρίσκεται κάπου ανάμεσα σε μια ομαλή καμπύλη, η οποία έχει διάσταση 1, και μια ομαλή επιφάνεια η οποία έχει διάσταση 2.) Μπορεί κανείς να συγχωρέσει στον Μάντελμπροτ το ότι δεν εξηγεί σε βάθος τέτοιου είδους τεχνικές λεπτομέρειες στο βιβλίο του. Ο κόσμος μέσα στον οποίο ζούμε, γράφει, είναι «ένας ωκεανός πολυπλοκότητας». Κι όμως περιλαμβάνει δύο «νήσους απλότητας». Μία από αυτές, η ευκλείδειος απλότητα των ομαλών μορφών ανακαλύφθηκε από τους αρχαίους. Η άλλη, η μορφοκλασματική απλότητα της αυτοόμοιας τραχύτητας, ανακαλύφθηκε κατά μεγάλο μέρος από τον ίδιο τον Μάντελμπροτ. Η γεωμετρική διαίσθηση που διέθετε του επέτρεψε την ανίχνευση μιας νέας πλατωνικής ουσίας, την οποία διέθετε από κοινού ένα πλήθος ετερόκλητων επιμέρους πραγμάτων, από το ταπεινό κουνουπίδι ως το υψηλό σύνολο Μάντελμπροτ. Η απόλαυση που αντλούσε από την τραχύτητα, την ανομοιογένεια και τη συνθετότητα σε μορφές που οι παλιότεροι μαθηματικοί αντιμετώπιζαν ως «τερατώδεις» ή «παθολογικές» έχει μια αναμφισβήτητα σύγχρονη χροιά. Μάλιστα, με τα περίπλοκα σχέδια που εμφανίζονται διαρκώς σε ολοένα και μικρότερη κλίμακα, τα μορφοκλασματικά σύνολα του Μάντελμπροτ φέρνουν στον νου τον ορισμό της ομορφιάς που είχε δώσει ο Μποντλέρ: C’est l’infini dans le fini. © THE NEW YORK REVIEW OF BOOKS — Μετάφραση: Αναστασία Μωράκη [1] Η λέξη «δύναμη» εδώ δεν αναφέρεται με την πολιτική έννοιά της ούτε χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της θεωρίας του ηλεκτρισμού, αλλά σημαίνει τον μαθηματικό εκθέτη που προσδιορίζει το ακριβές σχήμα μιας δεδομένης συνάρτησης.

Ο άνθρωπος που συνέλαβε τα μαθηματικά της τραχύτητας

Σύνδεση